Момент імпульсу
Класична механіка | ||||||||||||||
F=dpdtdisplaystyle mathbf F =frac dmathbf p dt | ||||||||||||||
Другий закон Ньютона | ||||||||||||||
Історія класичної механіки | ||||||||||||||
| ||||||||||||||
Моме́нтом і́мпульсу називається векторна величина, яка характеризує інерційні властивості тіла, що здійснює обертальний рух відносно певної точки (початку координат).
Зміст
1 Момент імпульсу в класичній механіці
1.1 Визначення
2 Момент імпульсу у Спеціальній теорії відносності та класичній теорії поля
3 Закон збереження момента імпульсу
4 Момент імпульсу у квантовій фізиці
5 Джерела
Момент імпульсу в класичній механіці |
Визначення |
Моментом імпульсу матеріальної точки відносно початку координат в класичній механіці є величина, яка дорівнює векторному добутку радіус-вектора цієї частинки на її імпульс.
- L=r×pdisplaystyle mathbf L =mathbf r times mathbf p
Відповідно,
L — кутовий момент
r — радіус-вектор частинки
p — імпульс частинки
Якщо фізична система складається з багатьох матеріальних точок, то результуючий момент імпульсу відносно початку координат є сумою (інтегралом) усіх моментів імпульсу складових системи.
Для багатьох практичних задач, які вивчають властивості об'єкта, що обертається навколо певної осі, достатньо проаналізувати скалярне значення момента імпульсу, який є додатним, якщо обертання відбувається проти годинникової стрілки та від'ємним, якщо навпаки.
Відповідно до визначення векторного добутку векторів, скаляр момента імпульсу визначається як:
- L=|r||p|sinθr,psin theta _r,p
де θr,p — кут між r та p, який вимірюється від r до p; такий порядок обходу векторів при визначенні кута є принциповим. Якщо порядок змінити на зворотний, зміниться й знак.
Для тіла сталої маси, яке обертається навколо фіксованої осі, момент імпульсу можна визначити як добуток момента інерції тіла відносно цієї осі на його кутову швидкість:
- L=Iωdisplaystyle mathbf L =Imathbf omega
де I — момент інерції частинки, ω — вектор кутової швидкості.
Момент імпульсу у Спеціальній теорії відносності та класичній теорії поля |
У Спеціальній теорії відносності вектор моменту імпульсу дає компоненти антисиметричного тензора другого рангу - тензора моменту імпульсу та спіну:
Lαβ=xαpβ−xβpαdisplaystyle L_alpha beta =x_alpha p_beta -x_beta p_alpha ,
або, у явному вигляді,
Lαβ=(G,L)=(0−Gx−Gy−GzGx0Lz−LyGy−Lz0LxGzLy−Lx0)displaystyle L_alpha beta =(mathbf G ,mathbf L )=beginpmatrix0&-G_x&-G_y&-G_z\G_x&0&L_z&-L_y\G_y&-L_z&0&L_x\G_z&L_y&-L_x&0endpmatrix,
де L=[r×p],G=Ecr−ctpdisplaystyle mathbf L =[mathbf r times mathbf p ],quad mathbf G =frac Ecmathbf r -ctmathbf p - вектори моменту імпульсу та спіну.
![displaystyle mathbf L =[mathbf r times mathbf p ],quad mathbf G =frac Ecmathbf r -ctmathbf p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2aac7417e89870c73ef9ad3656e1fc15686b3d)
Тензорне представлення вектора моменту імпульсу слідує з того, що перетворення Лоренца даного вектора збігається з перетворенням Лоренца компонент антисиметричного тензора.
У рамках класичної теорії поля тензором моменту імпульсу та спіну називають струм, який відповідає інваріантності лагранжіану поля по відношенню до перетворень Лоренца, які можна інтерпретувати як повороти у 4-просторі-часі:
Jμ,αβ=Lμ,αβ+Sμ,αβ=(xαTμβ−xβTμα)+∂L∂(∂μΨk)Yk,αβdisplaystyle J_mu ,alpha beta =L_mu ,alpha beta +S_mu ,alpha beta =(x_alpha T_mu beta -x_beta T_mu alpha )+frac partial Lpartial (partial ^mu Psi _k)Y_k,alpha beta ,
де Tαβdisplaystyle T_alpha beta - тензор енергії-імпульсу, Ψkdisplaystyle Psi _k - поле, Yk,αβdisplaystyle Y_k,alpha beta - величина-похідна, що визначає трансформаційні властивості поля по відношенню до перетворення Лоренца.
Наявність спінової частини у тензорі моменту імпульсу та спіну тісно пов'язано із симетрією тензора енергії-імпульсу відносно перестановки індексів. Якщо тензор енергії-імпульсу симетричний, то кутова та спінова частини тензору моменту імпульсу та спіну зберігаються (у термінах теорії поля) окремо. Якщо ж провести процедуру "занесення" спінової частини до кутової тензору моменту імпульсу та спіну, то одночасно із цим можна симетризувати тензор енергії-імпульсу. Така процедура називається процедурою Беліфанте. displaystyle displaystyle displaystyle displaystyle displaystyle displaystyle displaystyle displaystyle displaystyle displaystyle displaystyle displaystyle displaystyle displaystyle displaystyle
Закон збереження момента імпульсу |
Момент імпульсу — одна з фізичних величин, для якої діє фундаментальний закон збереження.
Назвемо замкненою (в сенсі обертання) таку систему, для якої сума моментів зовнішніх сил M дорівнює нулю. Для такої системи
- dLdt=∑Mi=0displaystyle frac dmathbf L dt=sum boldsymbol M_i=0
та
L=constdisplaystyle mathbf L =textconst.
Тобто, в замкненій системі момент імпульсу зберігається незмінним. Як випливає з теореми Нетер, таке твердження є наслідком ізотропності (тобто рівноцінності всіх напрямів) простору.
Момент імпульсу у квантовій фізиці |
В квантовій механіці момент імпульсу визначається не як фізична величина, а як оператор над вектором стану.
Оператор момента імпульсу має вигляд:
- L=r×pdisplaystyle mathbf L =mathbf r times mathbf p
де r та p — оператори радіус-вектора та імпульсу системи.
Для вільної частинки без спіну та електричного заряду, оператор момента імпульсу може бути наведений в такій формі:
L=−iℏ(r×∇)displaystyle mathbf L =-ihbar (mathbf r times nabla ), де ∇displaystyle nabla — оператор Гамільтона.
Окремі компоненти оператора момента імпульсу не комутують між собою. Внаслідок цього їх неможливо
визначити одночасно. Детальніше дивись в статті
оператор кутового моменту.
Джерела |
- Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
- Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
- Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М. : Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1976. — 664 с.
- Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М. : Мир, 1990. — 720 с.
- Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л. : Наука, 1975. — 441 с.
- Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М. : Мир, 1993. — 352 с.
