Ufdjrw

Механіка суцільних середовищ

Закони класичної механіки Закон збереження маси •Закон збереження імпульсу •Закон збереження енергії •Нерівність Клаузіуса Механіка деформівного твердого тіла Тверде тіло: Напруження •Деформація •Теорія малих деформацій •Теорія великих деформацій •Теорія пружності •Механіка контактної взаємодії •Опір матеріалів •Теорія пластичності •Механіка руйнування Механіка рідин та газів Флюїд: Тиск •Гідростатика (закон Архімеда; закон Паскаля) •Гідродинаміка (закон Бернуллі) •В'язкість (ньютонівська рідина; неньютонівська рідина) Рідина: Поверхневий натяг •Капілярний ефект Газ: Рівняння стану ідеального газу (Закон Гей-Люссака; Закон Бойля — Маріотта; закон Шарля) •Реальний газ Плазма Реологія В'язкоеластичність •Розумні рідини (Магнетореологічна рідина, Електрореологічна рідина, Феромагнітна рідина) • Реометрія Основні рівняння Рівняння неперервності •Рівняння Ейлера •Рівняння Нав'є — Стокса •Рівняння дифузії •Закон Гука Вчені Ньютон •Стокс •Нав'є •Коші •Гук, Бернуллі

Тео́рія пру́жності — розділ механіки суцільних середовищ, що вивчає деформації і напруження в тілах, котрі перебувають у спокої або рухаються під дією навантажень.

Завдання теорії пружності |

Задачею цієї теорії є запис математичних рівнянь, розв'язання яких дозволяє відповісти на такі запитання:

• якими будуть деформації конкретного тіла, якщо до нього прикласти у відомих місцях навантаження заданої величини?


• якими будуть при цьому напруження в тілі?

Питання, чи тіло зруйнується, чи витримає ці навантаження, тісно пов'язані з теорією пружності, але, строго кажучи, не входить у її компетенцію.

Прикладів можна навести безліч — від визначення деформацій і напружень в навантаженій балці на опорах, до розрахунку цих же параметрів в корпусі літака, ракети, підводного човна, у колесі вагона, в броні танка при ударі снаряда, в гірському масиві при прокладенні штольні, в каркасі висотної будівлі і так далі.

Для випадку інженерних задач, напруження і деформації в конструкціях розраховують за спрощеними теоріями, що логічно базуються на теорії пружності. До таких теорій відносяться: опір матеріалів, завданням якого є розрахунок стрижнів і балок, а також, оцінка напружень, що виникають у зонах контактної взаємодії твердих тіл; будівельна механіка — розрахунок стрижневих систем (наприклад, мостів); і теорія оболонок — самостійна і добре розвинена галузь науки про деформації і напруження, предметом дослідження якої є тонкостінні оболонки — циліндричні, конічні, сферичні, і складніші форми.

Основні поняття теорії пружності |

Розподіл напружень на площинках елементарного паралелепіпеда

Основними поняттями теорії пружності є напруження, що діють на малих площинках, котрі можна уявно провести в тілі через задану точку P, деформації малої околиці точки P і переміщення самої точки P. Точніше кажучи, вводяться тензор механічних напружень σijdisplaystyle sigma _ij,!, тензор малих деформацій εijdisplaystyle varepsilon _ij,! і вектор переміщення u_i.
Коротке позначення σijdisplaystyle sigma _ij,!, де індекси i, j набувають значень 1, 2, 3 (або x, y,z) слід розуміти як матрицю у видах:

σij=[σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ33]=[σxxσxyσxzσyxσyyσyzσzxσzyσzz]displaystyle boldsymbol sigma _ij=beginbmatrixsigma _11&sigma _12&sigma _13\sigma _21&sigma _22&sigma _23\sigma _31&sigma _32&sigma _33endbmatrix=left[beginmatrixsigma _xx&sigma _xy&sigma _xz\sigma _yx&sigma _yy&sigma _yz\sigma _zx&sigma _zy&sigma _zz\endmatrixright],!

Аналогічно слід розуміти і коротке позначення тензора εijdisplaystyle varepsilon _ij,!.

Якщо фізична точка тіла M внаслідок деформації зайняла нове положення в просторі P´, то вектор переміщення є вектор PP′displaystyle mathbf PP' з компонентами (u_x,u_y,u_z), або, скорочено, u_i. У теорії малих деформацій компоненти u_i і εijdisplaystyle varepsilon _ij,! вважаються малими величинами (строго кажучи, нескінченно малими). Компоненти тензора εijdisplaystyle varepsilon _ij,!, який також має назву тензор деформації Коші або лінійний тензор деформації і вектора u_i пов'язані залежностями:

εij=12(ui,j+uj,i)=[εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz]=[∂ux∂x12(∂ux∂y+∂uy∂x)12(∂ux∂z+∂uz∂x)12(∂uy∂x+∂ux∂y)∂uy∂y12(∂uy∂z+∂uz∂y)12(∂uz∂x+∂ux∂z)12(∂uz∂y+∂uy∂z)∂uz∂z]displaystyle varepsilon _ij=frac 12left(u_i,j+u_j,iright)=left[beginmatrixvarepsilon _xx&varepsilon _xy&varepsilon _xz\varepsilon _yx&varepsilon _yy&varepsilon _yz\varepsilon _zx&varepsilon _zy&varepsilon _zz\endmatrixright]=left[beginmatrixfrac partial u_xpartial x&frac 12left(frac partial u_xpartial y+frac partial u_ypartial xright)&frac 12left(frac partial u_xpartial z+frac partial u_zpartial xright)\frac 12left(frac partial u_ypartial x+frac partial u_xpartial yright)&frac partial u_ypartial y&frac 12left(frac partial u_ypartial z+frac partial u_zpartial yright)\frac 12left(frac partial u_zpartial x+frac partial u_xpartial zright)&frac 12left(frac partial u_zpartial y+frac partial u_ypartial zright)&frac partial u_zpartial z\endmatrixright],!

З останнього запису видно, що εij=εjidisplaystyle varepsilon _ij=varepsilon _ji,!, тому тензор деформації є симетричним за визначенням.

Якщо пружне тіло під дією зовнішніх сил перебуває у рівновазі (тобто швидкості усіх його точок дорівнюють нулю), то в рівновазі перебуває і будь-яка частина тіла, яку уявно можна з нього виділити. З тіла виділяється нескінченно малий прямокутний паралелепіпед, грані якого паралельні координатним площинам декартової системи. З умови рівноваги паралелепіпеда, з розмірами ребер dx, dy, dz, розглянувши умови рівноваги сил в проекціях, можна отримати:

∂σxx∂x+∂σxy∂y+∂σxz∂z+Fx=0∂σyx∂x+∂σyy∂y+∂σyz∂z+Fy=0∂σxx∂x+∂σzy∂y+∂σzz∂z+Fz=0displaystyle beginaligned&frac partial sigma _xxpartial x+frac partial sigma _xypartial y+frac partial sigma _xzpartial z+F_x=0\&frac partial sigma _yxpartial x+frac partial sigma _yypartial y+frac partial sigma _yzpartial z+F_y=0\&frac partial sigma _xxpartial x+frac partial sigma _zypartial y+frac partial sigma _zzpartial z+F_z=0\endaligned

Аналогічно виходять рівняння рівноваги, що виражають рівність нулю головного моменту усіх сил, що діють на паралелепіпед, які приводяться до виду:

σxy=σyx,σyz=σzy,σzx=σxxdisplaystyle sigma _xy=sigma _yx,sigma _yz=sigma _zy,sigma _zx=sigma _xx,!

Ця рівність означає, що тензор напружень є симетричним тензор і число невідомих компонент тензора напружень зводиться до 6. Є лише три рівняння рівноваги, тобто рівнянь статики недостатньо для розв'язання задачі. Вихід з положення полягає в тому, щоб виразити напруження σijdisplaystyle sigma _ij,! через деформації εijdisplaystyle varepsilon _ij,! за допомогою рівнянь закону Гука, а потім деформації εijdisplaystyle varepsilon _ij,! виразити через переміщення u_i за допомогою формул Коші, і результат підставити у рівняння рівноваги. При цьому виходить три диференціальні рівняння рівноваги відносно трьох невідомих функцій u_x u_y u_z, тобто число невідомих, буде відповідати числу рівнянь. Ці рівняння називаються рівняннями Нав'є-Коші.

(λ+μ)∂∂x(∂ux∂x+∂uy∂y+∂uz∂z)+μ(∂2ux∂x2+∂2ux∂y2+∂2ux∂z2)+Fx=0displaystyle left(lambda +mu right)frac partial partial xleft(frac partial u_xpartial x+frac partial u_ypartial y+frac partial u_zpartial zright)+mu left(frac partial ^2u_xpartial x^2+frac partial ^2u_xpartial y^2+frac partial ^2u_xpartial z^2right)+F_x=0,!

(λ+μ)∂∂y(∂ux∂x+∂uy∂y+∂uz∂z)+μ(∂2uy∂x2+∂2uy∂y2+∂2uy∂z2)+Fy=0displaystyle left(lambda +mu right)frac partial partial yleft(frac partial u_xpartial x+frac partial u_ypartial y+frac partial u_zpartial zright)+mu left(frac partial ^2u_ypartial x^2+frac partial ^2u_ypartial y^2+frac partial ^2u_ypartial z^2right)+F_y=0,!

(λ+μ)∂∂z(∂ux∂x+∂uy∂y+∂uz∂z)+μ(∂2uz∂x2+∂2uz∂y2+∂2uz∂z2)+Fz=0displaystyle left(lambda +mu right)frac partial partial zleft(frac partial u_xpartial x+frac partial u_ypartial y+frac partial u_zpartial zright)+mu left(frac partial ^2u_zpartial x^2+frac partial ^2u_zpartial y^2+frac partial ^2u_zpartial z^2right)+F_z=0,!

де коефіцієнти Ламе:

λ=Eν(1+ν)(1−2ν)displaystyle lambda =frac Enu (1+nu )(1-2nu )

μ=E2(1+ν)displaystyle mu =frac E2(1+nu ).

Граничні умови |

Розв'язання задач теорії пружності зводиться до інтегрування системи диференціальних рівнянь у частинних похідних, що визначають поведінку пружного тіла у внутрішніх точках. До цих рівнянь додаються умови на поверхні, що обмежує тіло. Ці умови визначають задання або зовнішніх поверхневих сил, або переміщень точок поверхні тіла. Залежно від цього зазвичай формулюють один із трьох типів крайових задач.

Перша крайова задача — кінематична. В об'ємі тіла відшукуються складові переміщень, що набувають на поверхні певних значень. В умові на поверхні тіла в такий спосіб задаються рівняння поверхні й значення складових переміщень на ній.

Друга крайова задача — статична. У цьому випадку на поверхні тіла не накладені жодні обмеження на переміщення і задаються рівняння поверхні, що направляють косинуси нормалі до поверхні й значення складових поверхневих навантажень.

У випадку, коли поверхня тіла збігається з координатними площинами, граничні умови можуть бути сформульовані безпосередньо в напруженнях. Тоді достатньо вказати рівняння поверхні й задати значення складових напружень на ній.

Третя крайова задача — змішана. У цьому випадку на одній частині поверхні тіла задаються кінематичні умови, а на іншій — статичні.

Цими трьома задачами не вичерпується вся розмаїтість граничних умов. Наприклад, на деякій ділянці поверхні можуть бути задані не всі три складові переміщення або складові поверхневого навантаження.

Див. також |

Закон Гука
Пружність
Пружні сили
Тензор механічних напружень
Тензор деформації
Модулі пружності

Джерела |

• 
  Божидарник В. В., Сулим Г. Т. Елементи теорії пружності. — Львів: Світ,1994. — 560 c. — ISBN 5-7773-0109-6
  


• 
  Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1979. — 560 с.

Література |

• Деформативність неоднорідних трансверсально-ізотропних матеріалів / Я. І. Соколовський, Т. І. Бубняк; Львів. держ. аграр. ун-т. — Л., 1999. — 196 c. — Бібліогр.: 150 назв.

Посилання |

• 
  Теорія пружності (Електронний навчальний курс).