Ufdjrw

Діагональна матриця — квадратна матриця, всі недіагональні елементи якої дорівнюють нулю.

Більш формально, діагональною називають таку матрицю $A$ , що $displaystyle forall ineq j:a_ij=0$ .

Можна також записати

displaystyle a_ij=a_idelta _ij,

,

де $displaystyle delta _ij$ - символ Кронекера.

Одинична матриця діагональна за визначенням.

Зміст

Сума, добуток та обернена матриця(якщо існує) діагональних матриць є діагональною матрицею. Діагональні матриці утворюють підкільце в кільці симетричних матриць:
- $displaystyle diag(a_1,ldots ,a_n)+diag(b_1,ldots ,b_n)=diag(a_1+b_1,ldots ,a_n+b_n)$
- $displaystyle diag(a_1,ldots ,a_n)cdot diag(b_1,ldots ,b_n)=diag(a_1b_1,ldots ,a_nb_n)$
- $displaystyle diag(a_1,ldots ,a_n)^-1=diag(a_1^-1,ldots ,a_n^-1)$

Визначник діагональної матриці дорівнює добутку всіх елементів головної діагоналі.

В матриці $displaystyle diag(a_1,ldots ,a_n)$ власними значеннями є $displaystyle a_1,ldots ,a_n$ з власними векторами $displaystyle e_1,ldots ,e_n$ .

Достатньою умовою приведення матриці до діагонального вигляду є попарна відмінність всіх власних значень матриці.

Довільна квадратна матриця є подібною до діагональної матриці тоді і тільки тоді, коли в неї всі власні вектори лінійно незалежні. Такі матриці називають діагоналізуємими.

Над полем дійсних чи комплексних чисел справедливі й такі твердження:

відповідно до спектральної теореми довільна нормальна матриця унітарно подібна до діагональної матриці

displaystyle forall A;(AA^*=A^*A);;exists U(U^*=U^-1):;;UAU^*=D

відповідно до сингулярного представлення матриці для довільної матриці існують унітарні матриці U та V такі що матриця U*AV є діагональною з додатніми елементами

displaystyle forall A;exists U,V(U^*=U^-1,V^*=V^-1):;;U^*AV=D,D>0

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)